Andrej Plenković sa svojim se najmlađim sinom Ivanom pojavio se na premijeri animiranog filma Velika utrka Europe u zagrebačkom Kaptol Boutique Cinema, gdje su se okupila brojna poznata lica s mališanima.
Premijer je davao izjavu pred kamerama držeći sina u naručju, kojem se nije svidjela medijska pažnja pa je stalno okretao glavu.
Andrej Plenković je u braku s Anom Maslać Plenković, a osim dvojice sinova imaju i kći Milu. Premijer i njegova supruga u braku su deset godina, a rijetko se zajedno pojavljuju u javnosti.
Par se upoznao u saboru, gdje je Ana bila zaposlena kao šefica Službe za pravne i ljudske poslove. Plenković je od Ane stariji devet godina, a par se vjenčao u listopadu 2014. Dva mjeseca kasnije dobili su prvo dijete, sina Marija. U veljači 2017. dobili su kćer Milu, a u ožujku 2022. stigao im je sin Ivan.